用 “知之甚少” 已不足以形容我们对这位留下《几何原本》 (The Elements) 及其他数种著作， 被尊为 “几何之父” (Father of Geometry) 的伟大先贤的生平了解之贫乏。
而阿基米德之所以出现在对欧几里得生活年代的界定中， 乃是因为他在《论球和圆柱》 (On the Sphere and the Cylinder) 一书中提到过《几何原本》
普罗克洛斯提到过托勒密一世 (Ptolemy I) 跟欧几里得的一段广为流传的对话， 前者问学习几何有无捷径， 欧几里得答曰 “在几何中没有 ‘御道’ (royal road)”。 由于托勒密一世的都城是亚历山大港， 对话被认为发生在亚历山大港——但这虽能说明欧几里得是当时亚历山大港的知名几何学家， 却也并不等同于在亚历山大港教过书。
对欧几里得的生平了解为何会如此贫乏？ 在两千多年后的今天恐已很难得到确凿回答了， 有一种猜测认为欧几里得是历史上最早的科学专才之一， 将精力完全投入了数学之中， 从不参与任何政治性或事务性的活动， 而后两者是那个时代的人物青史留名的重要渠道， 因而欧几里得几乎是 “自绝” 于历史。 著名美籍比利时裔现代科学史学家、 科学史作为一门现代学科的创始人乔治·萨顿 (George Sarton) 曾经感慨道， 对欧几里得以及其他某些先贤生平的这种无知 “是寻常而非例外的， 人们记住了暴君和独裁者， 成功的政治人物， 富豪 (起码一部分富豪)， 却忘记了自己最大的恩人”。
《几何原本》是经受时光洗礼流传至今的最早的数学专著之一， 不过也被一些人视为是若干更早的数学专著失传的 “罪魁祸首”， 因为在题材上被《几何原本》涵盖到的数学专著在跟这部伟大著作竞争时， 大都落败陨灭了——而且更 “糟糕” 的是， 如我们在后文将会看到的， 《几何原本》在题材上的涵盖面偏偏是相当广的， 并不限于几何。
对尽可能接近原始的版本的追索也从一个侧面显示了欧几里得的厉害： 因为追索所得的 “欧几里得版” 与包括 “赛翁版” 在内的若干其他版本的相互比对， 显示出了后者的诸多缺陷， 比如引进了不必要的公设 (postulate)， 忽视了必要的公理 (common notion)， 等等。 赛翁等人就像如今那些篡改金庸武侠的导演和编剧一样， 虽有传播之功， 却并没有与原作者同等的造诣， 从而产生出的是更差而不是更好的版本。
漫长的时光抹去了大量线索， 使我们很难用足够确凿的方式判定他们在原创与继承之间的比例分配。 比如上文提到过的美籍比利时裔科学史学家萨顿就对很多先贤的 “……之父” 头衔存有疑虑——其中也包括了对欧几里得 “几何之父” 头衔的疑虑。 瑞典哲学家安德斯·韦德伯格 (Anders Wedberg) 在其三卷本的《哲学史》 (A History of Philosophy) 的开篇也曾表示， 那些被我们视为伟大原创者的哲学家有可能只是记叙先辈成果的有天赋的表述者。
普罗克洛斯曾评价道， 《几何原本》的内容虽部分来自前人， 但欧几里得将很多不严格的证明纳入了严整有序、 无可怀疑的框架。 从数学史的角度讲， 这一评价是中肯的， 《几何原本》的重要性与其说是罗列了大量旧定理或证明了若干新定理， 不如说是示范了公理化体系的巨大威力， 将数学证明的严密性推上了前所未有的高度。 从这一角度讲， 欧几里得与《几何原本》所享的盛誉是实至名归的。 很多距离欧几里得时代不太遥远的古代学者也对《几何原本》做出了很高评价， 而欧几里得除《几何原本》之外流传于世的其他著作也显示出了跟那样的评价相称的水准。
作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作， 《几何原本》一开篇——即第 1 卷——就展开公理体系， 不带一个字的多余铺垫， 直接就列出了 23 个定义， 5 条公设和 5 条公理。 这是迥异于柏拉图和亚里士多德， 乃至迥异于一切哲学著作的风格。
《几何原本》对公理和公设的区分跟亚里士多德的著作是明显相似的， 即公设是指单一学科——对《几何原本》而言是几何——独有的 “真理”， 公理则是适用于所有科学的 “真理”。
亚里士多德并且明确指出， 并非所有真命题皆可被证明， 必须将某些明显为真却无法证明的命题作为推理的起点， 这是公理和公设的起源， 也是其之所以必要的根本原因。 一般认为， 亚里士多德的这些观点对欧几里得是有一定影响的。 不过， 亚里士多德虽对公理和公设作出过区分， 却不曾对具体的——即几何领域的——公设做过论述， 《几何原本》所列的公设也因此被某些研究者， 比如前文提到过的希腊数学史专家希斯， 视为是欧几里得的原创。
《几何原本》所列的定义用现代公理体系的要求来衡量， 只是一种形象化的努力， 提供的是直观理解， 作为教学说明不无价值， 细究起来却往往会陷入逻辑困境——之所以如此， 其实跟并非所有真命题皆可被证明相类似， 因为对一个概念的定义势必会用到其它概念， 就像对一个命题的证明势必会用到其它命题一样。 原因既然类似， 解决方法其实也就呼之欲出了， 那就是必须引进一些不加定义的概念， 就像必须引进不加证明的公理和公设一样， 这也正是现代公理体系所走的路子。 在现代公理体系中， 基本概念是不加定义的， 对其的全部限定来自公理体系本身 (当然， 现代公理体系也并不排斥定义， 但那通常是针对次级概念， 所起的作用则是简化叙述)。 《几何原本》没有走这样的路子， 有可能是欧几里得没有意识到形象化定义的缺陷， 但也不排除是出于教学考虑。 事实上， 关于《几何原本》的一个有趣但没有答案的问题乃是： 它究竟是欧几里得写给同行的学术专著， 还是写给学生的授课讲义？ 倘是后者， 则对概念作一些逻辑上虽非无懈可击， 但有助于直观理解的形象化描述不失为有益的选择。
在《几何原本》所构建的公理体系中， 另一个可圈可点之处是对定义与存在性做出了一定程度的区分， 从而避免了视所定义的概念为自动存在这一并非显而易见的错误。 对定义与存在性的区分虽然连现代人也时常会稀里糊涂， 历史却相当悠久， 可回溯到欧几里得之前， 从而并非欧几里得的独创。 事实上， 芝诺的悖论 给人的一个重大启示便是： 哪怕最直观的概念， 其存在性也并非不言而喻。 自那以后， 对定义与存在性的区分就引起了像柏拉图和亚里士多德那样的先贤的注意， 比如亚里士多德在《后分析篇》 (Posterior Analytics) 中就明确表示， 定义一个客体不等于宣告它的存在， 后者必须予以证明或作为假设。 欧几里得的命题 1 和命题 46 属于对存在性予以证明， 公设 1 和公设 3 则系将存在性作为假设， 都可纳入亚里士多德的阐述。
说到对定义与存在性的区分， 还有一点值得补充， 那就是欧几里得对存在性的很多证明是所谓的 “构造性证明” (constructive proof)， 也就是通过直接给出构造方法来证明存在性。 在数学中， 这是最强有力， 从而也最没有争议的存在性证明。
事实上， 《几何原本》中的 “几何” 一词有可能是后人添加的——比如 1570 年出版的第一个英文版名为《The Elements of Geometry》 (可译为《几何原理》或《几何基础》)， 1607 年出版的前 6 卷的中文版名为《几何原本》。 但该书的希腊文书名 “Στοιχεῖα” 其实只对应于 “Elements”， 其含义据普罗克洛斯所言， 乃是证明之起点， 其他定理赖以成立之基础， 类似于字母在语言中的作用 (这个出自普罗克洛斯本人的比喻颇有双关之意， 因为在希腊文里， 字母恰好也是 “Στοιχεῖα”)。 从这一含义来讲， 《几何原本》的希腊文书名只对应于 “原理” 或 “基础”， 起码在字面上不带 “几何” 一词。
亚里士多德在《形而上学》一书中就界定 “Elements” 为几何中其他命题所共同依赖的命题。 考虑到亚里士多德是一位很可能对欧几里得有过重大影响的先贤， 他对 “Elements” 一词的界定很可能意味着 “Elements” 这一书名从一开始就隐含了 “几何” 之意， 而后人将 “几何” 一词显明化， 则或可视为在 “Elements” 一词的本身含义扩张之后对原始含义的回溯。
在《几何原本》的煌煌 13 卷中， 内容分布大体是这样的： 第 1
4 卷主要为平面几何， 但间杂了数的理论——比如第 2 卷给出了乘法对加法的分配律等， 并求解了若干代数方程； 第 56 卷为比例理论及相似理论， 但同样间杂了数的理论， 且关于数有很深刻的洞见； 第 79 卷以对数学分支的现代分类观之， 是对几何与数的相对比例的的逆转——转入了以数为主的数论范畴， 其中包括了对 素数有无穷多个 等重要命题的证明 (第 9 卷命题 20)； 第 10 卷延续了以数为主的局部 “主旋律”， 对 “不可公度量” (incommensurable)——也就是无理数——做了详细讨论； 第 1113 卷重返几何， 但由平面走向立体， 以对包括 “柏拉图正多面体” (Plato solid) 在内的诸多立体几何话题的探讨结束了全书。
第 5 卷所间杂的关于数的 “很深刻的洞见”。 这一卷关于数的介绍， 可以说是继毕达哥拉斯学派发现无理数之后， 希腊数学在数的理论上的再次推进。 这次推进虽未像发现无理数那样发现新类型的数， 却具有很高的系统性， 加深了关于数的理解， 也因此赢得了后世数学家的敬意。 比如科学巨匠艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 的老师艾萨克·巴罗 (Isaac Barrow) 曾将这一卷所构筑的比例理论称为整部《几何原本》中最精妙的发明， 认为 “没什么东西比这一比例学说确立得更牢固， 处理得更精密”。 19 世纪的英国数学家阿瑟·凯莱 (Arthur Cayley) 也表示 “数学中几乎没什么东西比这本奇妙的第 5 卷更美丽”。
用希腊数学史专家希斯的话说， “在欧几里得对相同比值的定义与戴德金的现代无理数理论之间存在着几乎巧合般的严格对应”。 这个跨越两千多年时光的 “严格对应” 正是《几何原本》第 5 卷所间杂的关于数的 “很深刻的洞见”， 那样的洞见当然是美丽的——智慧上的美丽。
《几何原本》中的数的理论在第 7~9 卷得到了进一步发展。 这几卷被科学史学家萨顿称为 “第一部数论专著” (first treatise on the theory of number)。 从这个意义上讲， 欧几里得不仅是最著名的几何学家， 也是第一部数论专著的作者， 堪称 “通吃” 了当时的数学领域。 不过关于《几何原本》中的数， 有一个微妙之处值得一提， 那就是《几何原本》对 “数” (number) 和 “量” (magnitude) 作了一个如今看来并无必要的区分， 其中 “量” 本质上是线段长度， 可以表示无理数[注四]， “数” 则由单位长度积聚而成， 本质上是整数， 相互间的比值则是有理数。 这种区分造成了一定的繁琐性， 比如 “数” 的比值与 “量” 的比值本该是统一的， 《几何原本》中的定义——前者为第 7 卷定义 20， 后者为第 5 卷定义 5——却很不相同， 给后世的诠释者带来过不小的困扰， 可以说是《几何原本》的一个缺陷。
与其他各卷相较， 《几何原本》的第 10 卷是命题最多的， 共有 115 个命题， 约占全书命题总数的 1/4。 在这些命题中， 很值得一提的是命题 1， 即 “给定两个不相等的量， 若从较大的量中减去一个大于其一半的量， 再从余量中减去大于其一半的量， 如此连续进行， 则必能得到一个比较小的量更小的量。” 由于 “较小的量” 是任意的， 因此由这一命题所得到的是任意小的量， 这是所谓 “穷竭法” (method of exhaustion) 的基础， 在一定程度上也是微积分思想的萌芽。 “穷竭法” 后来被阿基米德 (Archimedes) 用于计算很多形体的面积和体积， 欧几里得本人也在《几何原本》的第 12 卷中用它证明了一系列重要命题， 比如圆的面积正比于直径的平方， 球的体积正比于直径的立方， 圆锥的体积是与它同底等高的圆柱体积的 1/3， 等等， 是《几何原本》的重要亮点之一。
以时间的延绵而论， 欧几里得的《几何原本》可以跟此前的古希腊原子论及亚里士多德的逻辑鼎足而三， 以体系的恢宏而论， 则远远超过了亚里士多德的逻辑， 更绝非在很长时间里只具抽象意义的古希腊原子论可比。
《几何原本》成了一个巨大典范， 小到以诸如 “证毕” (öπερ ’έδει δεîξαι， 其拉丁文缩写是如今几乎每个中学生都熟悉的 Q.E.D.) 表示证明结束的习惯， 大到以公理化体系作为理论构筑和表述的基本手段， 都被广泛模仿。 在《几何原本》的模仿者中， 包括了科学家——比如牛顿、 哲学家——比如伊曼努尔·康德 (Immanuel Kant)、 神学家——比如托马斯·阿奎纳 (St. Thomas Aquinas)， 等等。 至于数学家， 则不仅仅是模仿者， 而且早已程度不等地习惯了以公理化手段为数学理论的 “标配”。
《几何原本》及其后继作品还对许多著名学人的个人成长起到了近乎 “第一推动力” 的作用。 比如爱因斯坦在晚年自述中回忆道： “12 岁时， 我经历了另一种性质完全不同的惊奇： 是在一个学年开始时， 我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时经历的。 那本书里有许多断言， 比如三角形的三条高交于一点， 虽然一点也不显而易见， 却可以如此确定地加以证明， 以至于任何怀疑都似乎是不可能的。 这种明晰性和确定性给我留下了难以形容的印象。”
英国哲学家伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 也在自传中回忆道： “11 岁时， 我开始在哥哥的指导下学习欧几里得， 这是我一生最重大的事件之一。 我从未想到过世上竟有如此有滋味的东西。 当我学了第五个命题之后， 哥哥告诉我那被普遍认为是困难的， 但我却一点也没觉得困难。 这是我第一次意识到我也许有一些智慧。” 😄
可以毫不夸张地说， 哪怕《几何原本》的所有内容都出自前人， 将之整理成如此严整有序、 恢宏深邃的逻辑体系——这被史学界公认为是欧几里得的贡献——也足以使欧几里得成为数学史乃至科学史上最伟大的教师， 使《几何原本》成为数学史乃至科学史上最伟大的教科书。